MQIC | Conteúdos parciais dos Módulos 2 e 6

MÓDULO 6 | TEMA 6.3 | TESTES PARAMÉTRICOS VERSUS NÃO PARAMÉTRICOS: Teste t versus Mann-Whitney e ANOVA versus KruskalWallis

TESTE DE WILCOXON

Num teste de Wilcoxon, pretendemos testar um dos seguintes pares de hipóteses, onde $\normal\\\theta$ representa a mediana da população em estudo:

H_{0 :} $\normal\\\theta=\theta_0$ vs H₁: $\normal\\\theta$ ≠ $\normal\theta_0$
H_{0 :} $\normal\\\theta=\theta_0$ vs H₁: $\normal\\\theta$ > $\normal\\\theta_0$
H_{0 :} $\normal\\\theta=\theta_0$ vs H₁: $\normal\\\theta$ < $\normal\\\theta_0$

Considere D_i= X_i (a diferença das observações ao valor da mediana, sob a validade de H₀), D={D_i:|D_i| ≠ 0} (o conjunto de todas as diferenças não-nulas). A estatística de teste (ET), W, é definida por:

$\normal\\W = \sum_{D_i \in D}Ordem(|D_i|)\textrm{I}(D_i>0),$ sendo I() a função indicadora, ou seja, 1 se D_i > 0 e 0 caso contrário.

W é assim a soma das ordens da amostra do módulo das diferenças ( $\normal\\X_i-\theta_0$ ), |D_i|, considerando apenas as ordens D_i's positivas.

Para valores de n ≤ 15, podemos encontrar na Tabela H (Siegel and Castellan, 1988) os valores da distribuição de probabilidades (P[W ≥ w]), sob a validade de H₀, da estatística de teste W. Para valores de n > 15, a estatística de teste W pode ser bem aproximada a uma distribuição normal (Siegel and Castellan, 1988). Ao realizarmos estes testes em SPSS, não necessitamos de recorrer ao uso destas tabelas. Vejamos o exemplo seguinte.

Consideremos agora o Exemplo 14 - Cf. Exemplo 14.

EXEMPLO 14

Retomemos a base de dados Coeficiente_Inteligencia.sav, mas agora não iremos assumir que a distribuição subjacente ao coeficiente de inteligência em Portugal é normal. Desta forma, para aplicarmos o teste-t teremos que verificar se a condição de normalidade subjacente aos dados é aceitável. Vejamos com o auxilio do vídeo

Como pode observar temos dois resultados conflituosos. Como decidir? REFLITA...

(clique na seta para ver informação)

Como foi dito anteriormente o teste de Shapiro-Wilk é um teste mais potente que o teste de Kolmogorov-Smirnov, especialmente quando estamos a lidar com amostras de dimensão reduzida, como é o nosso caso neste exemplo. A não rejeição da normalidade a 5% nível de significância (valor-p = 0.058 > $\normal\\\alpha$ ) no teste de Kolmogorov-Smirnov deve-se simplesmente ao facto de n ser muito pequeno. Basta observar o histograma seguinte para verificar que a distribuição subjacente à amostra de coeficientes de inteligência nada tem de normal.

Pelo resultado do teste Shapiro-Wilk, concluímos então que, a 5% nível de significância, rejeitamos a normalidade subjacente aos nossos dados (valor-p = 0.001 < $\normal\\\alpha$ ). Logo falha a condição de aplicação do teste-t.

Se a dimensão da amostra fosse elevada, poderíamos ter uma maior confiança no resultado apresentado no Exemplo 13 (exemplo não disponível em acesso livre) (valor-p = 0.048), uma vez que o TLC garantiria uma boa aproximação deste valor. Contudo, com n=13, a melhor opção será realizar o teste não-paramétrico de Wilcoxon. Com a ajuda do vídeo vamos realizar um teste de hipóteses unilateral à direita, definindo para hipótese nula "O valor da mediana do coeficiente de inteligência dos alunos de medicina em Portugal é igual a 100'' (H₀: $\normal\\\theta = 100$ ). O resultado poder ser observado na tabela seguinte:

Note que este resultado é para um teste de hipóteses bilateral (H₁: $\normal\\\theta \neq 100$ ), mas o que queremos testar é H₁: $\normal\\\theta > 100$ . Para tal teremos que recorrer à seguinte tabela de resultados.

Se reparar o valor da estatística de teste estandardizada é positivo (1.602), pelo que o valor-p = $\normal\\\frac{0.109}{2}=0.0545$ maior que o nível de significância $\normal\\\alpha = 0.05$ .

Concluímos assim que, a 5% nível de significância, não existe evidência suficiente para rejeitarmos a nossa hipótese nula, ou seja, o coeficiente mediano de inteligência dos alunos de medicina é igual ao coeficiente mediano de inteligência nacional.

De salientar que esta conclusão é diferente da conclusão obtida no Exemplo 13, em que foi assumida a distribuição normal subjacente aos nossos dados. Se a normalidade subjacente ao coeficiente de inteligência não puder ser fundamentada, devemos sem dúvida optar pelo resultado do teste não-paramétrico.